在数列{an}中,a1=1,an+1=(1-1/n+1)an.若对一切n>1的自然数,

an+1=(1-1/n+1)an
则an+1=（n/n+1）an
则an+1=（n/n+1）an
=（n/n+1）*（n-1/n）an-1
=...
=n/n+1*（n-1/n）*..1/2*a1
=1/n+1
所以an+1=1/n+1
则an+1+an+2+...+a2n=1/n+1+1/n+2+..+1/n+n
对于1/n+1+1/n+2+..+1/n+n，
令Sn=1/n+1+1/n+2+..+1/n+n。则
Sn+1=1/n+2+1/n+3+..+1/n+n+1/n+n+1+1/n+n+2
Sn+1-Sn=1/n+n+1+1/n+n+2-1/n+1
=1/2n+1-1/2n+2
=1/（2n+1）*（2n+2）>0
可知随着n的增加值是增加的。
n>1，所以n=2是取得最小值

所以要an+1+an+2+...+a2n>1/12loga (a-1)+2/3恒成立
只要最小值大于1/12loga (a-1)+2/3，那么所有的都满足了
则n=2时，1/3+1+1/4=7/12
所以1/12loga (a-1)+2/3<7/12
则loga (a-1)<-1
讨论因为定义域a>1
所以必须a-1<1/a
则可知（1-根号5）/2<a<（1+根号5）/2
综合得1<a<（1+根号5）/2